Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; −4; 4), B(−1; −2; 4) và C(0; −4; 4). Mặt phẳng (P) có dạng ax + 2025y + cz + d = 0 đi qua điểm A sao cho hai điểm B, C nằm về cùng một phía.

22/22

Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A( - 1; - 4;4),\,\,B( - 1; - 2;4)\) và \(C(0; - 4;4)\). Mặt phẳng \((P)\) có dạng \(ax + 2025y + cz + d = 0\) đi qua điểm \(A\) sao cho hai điểm \(B,\,\,C\) nằm về cùng một phía. Đặt \({h_1} = d(B,(P))\) là khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \((P)\) và \({h_2} = d(C,(P))\) là khoảng cách từ điểm \(C\)đến mặt phẳng \((P)\). Khi biểu thức \(2025{h_1} + 2026{h_2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức \(T = - 9a + 10c + d\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: \( - 4\).

Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 2025.\overrightarrow {AB} \), suy ra \(M( - 1;4046;4)\).

Khi đó \(2025{h_1} = 2025.d(B,(P)) = d(M,(P))\).

Gọi \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AN} = 2026.\overrightarrow {AC} \), suy ra \(N(2025; - 4;4)\).

Khi đó \(2026{h_2} = 2026.d(C,(P)) = d(N,(P))\).

Suy ra \(2025{h_1} + 2026{h_2} = d(M,(P)) + d(N,(P))\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(I(1012;2021;4)\).

Khi đó \(2025{h_1} + 2026{h_2} = d(M,(P)) + d(N,(P)) = 2d(I,(P)) \le 2IA\).

Do vậy \(2025{h_1} + 2026{h_2}\) đạt giá trị lớn nhất khi \((P)\) qua \(A\) và vuông góc với \(IA\).

Hay \((P)\) đi qua \(A( - 1; - 4;4)\) và nhận \(\overrightarrow {AI} = (1013;2025;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((P):1013x + 2025y + 9113 = 0\).

Vậy \(a = 1013;c = 0;d = 9113 \Rightarrow T = - 9a + 10c + d = - 4\).