Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(2; 1; 0), C(2; 0; 2)

46/50

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B2;1;0, C2;0;2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

n→=5;2;−1

n→=5;2;1

n→=−5;2;−1

Giải thích

Phương pháp:

- Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC Chứng minh AH≤AK⇒dA;Pmax=AK.

- Viết phương trình đường thẳng K tham số hóa tọa độ điểm K∈BC.

- Sử dụng AK→.BC→=0 tìm tọa độ vectơ AK→.

Cách giải:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(2; 1; 0), C(2; 0; 2) (ảnh 1)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC.

Ta có AH⊥P⇒AH⊥HK⇒ΔAHK vuông tại H⇒AH≤AK hay dA;P≤dA;BC.

Do đó d(A; (P)) lớn nhất khi AH≡AK⇒H≡K.

Ta có BC→=0;−1;2⇒ Phương trình đường thẳng BC:x=2y=1−tz=2t

Vì K∈BC⇒K2;1−t;2t⇒AK→=1;−t;2t−1.

Ta có AK→.BC→=0⇔1.0+t+22t−1=0⇔t=25⇒AK→=1;−25;−15//5;−2;−1.

Vậy khi d(A; (P)) lớn nhất thì (P) có 1 VTPT n→=5;−2;−1.

Chọn D.