Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0)

43/50

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;0;0, B0;2;0, C0;0;3. Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng (ABC), N là điểm nằm trên OM sao cho OM.ON=12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn nằm trên một mặt cầu cố định. Bán kính R của mặt cầu đó bằng

Giải thích

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng ABC:x1+y2+z3=1⇒6x+3y+2z−6=0.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

Khi đó H cố định và có khoảng cách OH=dO;ABC=−662+32+22=67.

Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.

Hai tam giác vuông ΔOHM; ΔONK đồng dạng với nhau.

Suy ra: OM.ON=OH.OK=12→OK=12OH=14.

Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90° không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu (S) có đường kính OK.

Bán kính mặt cầu (S) là: R=OK2=7.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) (ảnh 1)