Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2;-1;1)

38/86

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),M\left( {5;3;1} \right),N\left( {4;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(y + z - 27 = 0\). Gọi \(B\) là điểm thuộc tia \(AM,C\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) và \(D\) là điểm thuộc tia \(AN\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thoi. Tọa độ điểm \(C\) là:

\(\left( { - 15;7;20} \right)\).

\(\left( {21;19;8} \right)\).

\(\left( { - 15;21;6} \right)\).

\(\left( {21;21;6} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Phương pháp tọa độ trong không gian

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {3;4;0} \right) \Rightarrow AM = 5,\overrightarrow {AN} = \left( {2;2;1} \right) \Rightarrow AN = 3\).

Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AF} = 5\overrightarrow {AN} \). Ta có\(AE = 15,AF = 15\) nên tam giác \(AEF\) cân tại \(A\). Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên tam giác \(ABD\) cân tại \(A\). Do đó \(BD//EF\).

Ta có \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = 5\overrightarrow {AN} - 3\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 2;5} \right)\).

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD \Rightarrow AC \bot EF \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {EF} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {EF} = 0\).

Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - 2;{y_C} + 1;{z_C} - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {EF} = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {{x_C} - 2} \right) - 2\left( {{y_C} + 1} \right) + 5\left( {{z_C} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_C} - 2{y_C} + 5{z_C} - 9 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) nên có phương trình là\(4\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 2z - 9 = 0\).

Vì \(C\) thuộc (\(AMN\)), thuộc (\(P\)) và \(AC \bot EF\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 3y - 2z - 9 = 0}\\{{y_C} + {z_C} - 27 = 0}\\{{x_C} - 2{y_C} + 5{z_C} - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 21}\\{{y_C} = 21}\\{{z_C} = 6}\end{array} \Leftrightarrow C\left( {21;21;6} \right)} \right.} \right.\).

Vậy \(C\left( {21;21;6} \right)\).