Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5). (a) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\). (b) ABCD là hình b

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 - 4}}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 1 + 7}}{3}\\{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 5}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_G} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\(G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

b) D(x; y; z). Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = 1\\7 - y = - 3\\5 - z = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 10\\z = 1\end{array} \right.\) D(−5; 10; 1).

c) Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right),\overrightarrow {MC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)\).

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( { - 5 - 4x;15 - 4y;12 - 4z} \right)\).

Để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 5 - 4x = 0\\15 - 4y = 0\\12 - 4z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = - 5\\4y = 15\\z = 3\end{array} \right.\).

Do đó 4x + 4y + z = 13.

d) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;5;6} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right).5 + 4.6 = 4\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.