Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 2; 0), B(2; −5; 4), C(0; 2; 0). (a) \(\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 7;4} \right)\). (b) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \)

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 7;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;0;0} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 7;4} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \ne 0\). Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

c) Gọi G là trọng tâm ABC.

Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\).

Để \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\) nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (Oyz).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

Suy ra \(M\left( {0; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Do đó a + b + c = 1.

d) Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {74} \);\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {69} \).

Do đó chu vi tam giác ABC bằng \(1 + \sqrt {69} + \sqrt {74} \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.