Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm A ( 1;2 ;0)

a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2.\overrightarrow n \)

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n \left( { - 2;1;1} \right).\)

b) Đúng

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + y + z = 0\).

Thay toạ độ điểm \(M\left( {3;1;5} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \( - 2.3 + 1 + 5 = 0\): thoả mãn.

c) Sai.

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow n  =  - 2.1 - 1.1 + 1.2 =  - 1 \ne 0 \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) Sai.

\(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 .\)