Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A( {1;0;0),\(B( {0;1;0} ) và \(C( {0;0;1}

20/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\),\(B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Điểm \(M\)là điểm thỏa mãn \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\]\[ = \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\]

\[ = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2\]\[ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge - 1\].

\( \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\).