Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 0 ; 0 ; − 1 ) , B ( − 1 ; 1 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ; 1 ) . Tìm điểm M sao cho 3 MA^2 + 2 MB^2 − MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

74/95

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(0;0; - 1),\;B( - 1;1;0),\;C(1;0;1)\).

Tìm điểm \(M\) sao cho \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(M\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\)

\(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\)

\(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2};2} \right)\)

\(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{3}{2}; - 1} \right)\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Tìm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Biến đổi và chứng minh biểu thức nhỏ nhất khi \(M\) trùng với \(I\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn

\(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\), suy ra

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3(0 - {x_I}) + 2( - 1 - {x_I}) - (1 - {x_I}) = 0}\\{3(0 - {y_I}) + 2(1 - {y_I}) - (0 - {y_I}) = 0}\\{3( - 1 - {z_I}) + 2(0 - {z_I}) - (1 - {z_I}) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = - \frac{3}{4}}\\{{y_I} = \frac{1}{2}}\\{{z_I} = - 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right).\]

Ta có

\[3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2}\]

\[ = 4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right).\]

Do đó yêu cầu đề bài ó MI nhỏ nhất

Vậy chọn B.