Trong không gian \[Oxyz\], cho ( ABC\)với \(A( {1\,;\,2\,;\,3} ), \(B( {4\,;\,5\,;\,6} ), \(C( {2\,;\,7\,;\,4} )

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;3} \right)\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

Vậy: \(G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)\).

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3\,;\,3\,;\,3} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\).

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.1 + 3.5 + 3.1 = 21\).

d) Ta có:

\(AB = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{(6 - 3)}^2}}  = 3\sqrt 3 \)

\(BC = \sqrt {{{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2} + {{(4 - 6)}^2}}  = 2\sqrt 3 \)

\(AC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(7 - 2)}^2} + {{(4 - 3)}^2}}  = 3\sqrt 3 \)

Chu vi \(\Delta ABC\):

\({P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 3\sqrt 3  + 2\sqrt 3  + 3\sqrt 3  = 8\sqrt 3 \).

Ta có nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \frac{1}{2}.8\sqrt 3  = 4\sqrt 3 \).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)} \)

\( = \sqrt {4\sqrt 3 \left( {4\sqrt 3  - 3\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3  - 3\sqrt 3 } \right)}  = 6\sqrt 2 \,\).a