Trong không gian Oxyz, cho Δ ABC, biết A(−1; 0; 3), B(4; 2; 0), C(3; 1; −3). Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Đúng.               c) Sai.                 d) Sai.

a) Đúng. Gọi G(x; y; z) là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2}\\{y = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1}\\{z = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0}\end{array}} \right.\)Þ G(2; 1; 0).

b) Đúng. Gọi D(x; y; z) là đỉnh của hình bình hành ABCD.

Do D là một đỉnh của hình bình hành ABCD nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3 - 4}\\{y - 0 = 1 - 2}\\{z - 3 = - 3 - 0}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = - 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)⇒ D(−2; −1; 0).

c) Sai. Gọi M(a; b; c) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;y;z - 3} \right);\)\(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)\)⇒\(3\overrightarrow {CB} = \left( {3;3;9} \right).\)

\(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{y = 3}\\{z - 3 = 9}\end{array}} \right.\)⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 12}\end{array}} \right..\)

Vậy M(2; 3; 12).

Suy ra a + b + c = 17.

d) Sai. Gọi M(a; b; c) ∈ Ox ⇒ b = 0; c = 0.

\(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = (4;1; - 6).\)

BM vuông góc với đường thẳng AC khi \(\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \)⇔\(\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)

Do đó: 4(a – 4) − 2∙1 = 0 ⇔ 4a = 18 ⇔ a = \(\frac{9}{2}\).

 Khi đó: 4a² + b² + c² = 81.