Trong không gian Oxyz cho ABC

17/235

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\Delta ABC\) có điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1;2} \right),C\left( { - 1;0; - 1} \right)\). Gọi điểm là chân đường phân giác trong của \(\Delta ABC\). Xác định tọa độ điểm \(D\)?

\(D\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\).

\(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\).

\(D\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\).

\(D\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Ta có \(:\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \)

\(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \)

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\)