Trong không gian Oxyz cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), D(a+a căn b^2+c^2; b căn a^2+c^2; c căn a^2+b^2)

32/39

Trong không gian cho Oxyz, Aa;0;0, B0;b;0, C0;0;c, Da+ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2 (a>0, b>0, c>0). Diện tích tam giác ABC bằng 32. Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất.

62.

22.

Giải thích

Chọn A

AB→=-a;b;0, AC→=a,0,c, AD→=ab2+c2;ba2+c2;ca2+b2AB→,AC→=b00c;0−ac−a;−ab−a0=bc;ac;ab.
Vì diện tích tam giác bằng 32 nên:
SΔABC=32⇔12AB→,AC→=32⇔12(ab)2+(bc)2+(ac)2=32⇔(ab)2+(bc)2+(ac)2=3.
Thể tích của tứ diện ABCD là:
VABCD=16AB→,AC→.AD→=16abcb2+c2+abca2+c2+abca2+b2=16bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2
≤[(bc)2+(ac)2+(ab)2](a2b2+a2c2+a2b2+b2c2+a2c2+b2c2)⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2[(bc)2+(ac)2+(ab)2]2⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤2.32⇔(bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2)2≤18⇔bca2b2+a2c2+aca2b2+b2c2+aba2c2+b2c2≤32

VA.BCD≤326 hay VA.BCD≤22.
nên maxVA.BCD=22. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Ta có: AC→=−1;0;1,AD→=2;2;2.
Nên: AC→,AD→=0122;1−122;−1022=−2;22;−2.
Do đó: SΔACD=12AC→,AD→=1212=3.
Vậy d(B,(ACD))=3VA.BCDSΔACD=3.223=62.