Trong không gian Oxyz, cho A(3; 9; −1), B(2; 0; 1) và hai mặt phẳng (P): x − 2 y + 2 z − 3 = 0 , ( Q ) : 2 x − 4 y + 4 z + 7 = 0 . ( a) (P) song song với (Q). (b) Khoảng cách giữa hai mặt

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 4;4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_Q}} = 2\overrightarrow {{n_P}} \) và \(7 \ne 2.\left( { - 3} \right)\). Do đó (P) // (Q).

b) Lấy điểm A(3; 0; 0)  (P).

Khi đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{13}}{6}\).

c) Lấy điểm C(2b – 2c + 3; b; c)  (P).

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {2b - 2c;b - 9;c + 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 9;2} \right)\).

Để A, B, C thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - 2c = - k\\b - 9 = - 9k\\c + 1 = 2k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 18k + 18 - 4k + 2 = - k\\b = - 9k + 9\\c = 2k - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{20}}{{21}}\\b = \frac{3}{7}\\c = \frac{{19}}{{21}}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {\frac{{43}}{{21}};\frac{3}{7};\frac{{19}}{{21}}} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\), mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( { - 2; - 1;0} \right)\).

Mặt phẳng (β) đi qua điểm B và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Oxy) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\).

Đáp án: a) Đúng ; b) Sai; c) Đúng ; d) Sai.