Trong không gian Oxyz, cho A(−1; 4; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z = 1. Khi đó: a) Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa trục Oy có dạng x + by + cz = 0, khi đó b – 2c2 + 1 > 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                       b) Đúng.                   c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng. Có \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;4;2} \right)\) và \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng −2(x + 1) – (z – 2) = 0 hay 2x + z = 0 hay x + \(\frac{1}{2}\)z = 0.

b = 0, c = \(\frac{1}{2}\).

Do đó b – 2c2 + 1 = 0 − 2∙\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) > 0.

b) Đúng. Do (α) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;2} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(−1; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;2;2} \right)\) có phương trình là:

1(x + 1) + 2(y – 4) + 2(z – 2) = 0 hay x + 2y + 2z – 11 = 0.

c) Đúng. Do mặt phẳng (P) x + 2y + 2z = 1 đối xứng với mặt phẳng (β) qua trục Ox nên ta có phương trình mặt phẳng (β) là x – 2y – 2z − 1 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\),

Có \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1; - 2; - 2} \right) =  - 2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2};1;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( { - \frac{1}{2};1;1} \right)\) cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).

Khi đó a + b = \(\frac{{ - 1}}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\) < 2.

d) Đúng. Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox. Khi đó toạ độ điểm M(1; 0; 0).