Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;3), B(1;4;3), C(5;1;3). Ba mặt cầu tiếp xúc nhau từng đôi một và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại ba đỉnh A, B, C. Tổng bán kính của ba mặt cầu trên bằng.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Khai thác điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu với nhau và với mặt phẳng chung để lập phương trình.

Lời giải chi tiết.

Gọi I, J và K lần lượt là tâm của ba mặt cầu tiếp xúc nhau đôi một và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại các điểm A, B, C tương ứng với các bán kính \({R_1},{R_2},{R_3}\).

Ta có. \(AB = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {0^2}} = 3\); \(AC = 4\) và \(BC = 5\).

Dựng \(JH \bot IA\) tại H.

Xét \(\Delta IHJ\) vuông tại H, ta có:

\(I{J^2} = I{H^2} + H{J^2} \Leftrightarrow {({R_1} + {R_2})^2} = {({R_1} - {R_2})^2} + A{B^2} \Leftrightarrow 4{R_1}{R_2} = A{B^2} = 9 \Leftrightarrow {R_1}{R_2} = \frac{9}{4}\).

Tương tự ta được. \({R_2}{R_3} = \frac{{25}}{4}\) và \({R_3}{R_1} = 4\).

Nhân vế theo vế ba phương trình. \({({R_1}{R_2}{R_3})^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{{25}}{4} \cdot 4 = \frac{{225}}{4} \Rightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = \frac{{15}}{2}\).

Từ đó ta có.

\({R_1} = \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{{{R_2}{R_3}}} = \frac{{15/2}}{{25/4}} = \frac{6}{5}\).

\({R_2} = \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{{{R_3}{R_1}}} = \frac{{15/2}}{4} = \frac{{15}}{8}\).

\({R_3} = \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{{{R_1}{R_2}}} = \frac{{15/2}}{{9/4}} = \frac{{10}}{3}\).

Vậy \({R_1} + {R_2} + {R_3} = \frac{6}{5} + \frac{{15}}{8} + \frac{{10}}{3} = \frac{{769}}{{120}}\).