Trong không gian Oxyz cho A(1;1;1) và hai đường thẳng d1: x=2-2t y=1 z=-2+t

Từ già thiết suy ra hai đường thằng \({d}_{1},{d}_{2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \((α):y=1\) và \(A∈(α)\).

\(+{d}_{1}\) có một véc tơ chỉ phương \({⃗u}_{1}=(-2;0;1);{d}_{2}\) có một véc tơ chỉ phương \({⃗u}_{2}=(3;0;-1)\).

Do \(\left[ {⃗u}_{1},{⃗u}_{2} \right]=(0;1;0)≠⃗0\) nên \({d}_{1}\) cắt \({d}_{2}\).

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $d_1$
\[
\Rightarrow (\beta): -2x+z+1=0.
\]

Gọi $I=(\beta)\cap d_1$, thì tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=2-2t\\
y&=1\\
z&=-2+t\\
-2x+z+1&=0
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow I(0;1;-1)\Rightarrow A_1(-1;1;-3).
\]

Gọi $(\delta)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $d_2$
\[
\Rightarrow (\delta): 3x-z-2=0.
\]

Gọi $J=(\delta)\cap d_2$, thì tọa độ của $J$ là nghiệm của hệ
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=5+3s\\
y&=1\\
z&=3-s\\
3x-z-2&=0
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow J(2;1;4)\Rightarrow A_2(3;1;7).
\]

Ta có
\[
P=AB+BC+CA=A_1B+BC+CA_2\ge A_1A_2.
\]

\[
\Rightarrow P \text{ đạt GTNN khi } P=A_1A_2
\Rightarrow P_{\min}=A_1A_2=2\sqrt{29}.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{29}$.

Đáp án đúng là A