Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 4), B(0; -3; 0), C(0; 3; 0), D(3; 0; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ACD

Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BD}  = (3;3;0)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\).

Suy ra \((ABD)\) có vectơ pháp tuyến \([B\vec D,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12;12; - 9)\). Do đó \(\vec n = ( - 4;4; - 3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ABD)\).

Mặt phẳng \((ACD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC}  = (0;3; - 4)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\). Suy ra \((ACD)\) có vectơ pháp tuyến là \([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12; - 12; - 9)\). Do đó \(\vec m = (4;4;3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ACD)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABD)\) và \((ACD)\). Khi đó:

\(\cos \varphi  = |\cos (\vec n,\vec m)| = \frac{{| - 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + ( - 3) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2} + {{( - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{41}}.\)Vậy φ≈77,3°