Trong không gian \(Oxyz\) cho A ( -2;0;0) B (0; -2 ;0)

20/22

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( { - 2\,;0\,;0} \right)\); \(B\left( {0\,; - 2\,;0} \right)\); \(C\left( {0\,;0\,; - 2} \right)\). \(D\) là điểm khác \(O\) sao cho \(DA\), \(DB\), \(DC\) đôi một vuông góc. \(I\left( {a\,;b\,;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tứ diện \(ABCD\). Tính \(S = a + b + c\).

Giải thích

Gọi \[D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y;z} \right);\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {x;y + 2;z} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x;y;z + 2} \right)\].

Vì \(DA,DB,DC\) đôi một vuông góc nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD} = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + {z^2} = 0\\x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + z\left( {z + 2} \right) = 0\\{x^2} + y\left( {y + 2} \right) + z\left( {z + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = - \frac{4}{3}\).

\(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{4}{3}} \right)^2}\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\4a + 4 = 8a + \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{ - 1}}{3}\]. Vậy \(a + b + c = - 1\).