Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 1; -1), B(4; 1; 1), C(0; 1; 1), D(2; -1; 1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} - 8a + 16 + {c^2} - 2c + 1\\{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 2c + 1\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 2c + 1 = {b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\].
Do đó, I(2; 1; 1), R2 = IA2 = (2 – 2)2 + (1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 4.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 4.