Trong không gian [Oxyz] cho 3 điểm A(1;0;0),B( 0; - 2;3),C( 1;1;1). Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa [AB] sao cho

8/22

Trong không gian \[Oxyz,\] cho 3 điểm \[A\left( {1;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0; - 2;3} \right),C\left( {1;1;1} \right)\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa \[A,{\rm{ }}B\] sao cho khoảng cách từ \[C\] tới mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y + z - 1 = 0}\\{3x + y + 7z + 6 = 0}\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + z - 1 = 0}\\{ - 2x + 3y + 6z + 13 = 0}\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 2z - 1 = 0}\\{ - 2x + 3y + 7z + 23 = 0}\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z - 1 = 0}\\{ - 23x + 37y + 17z + 23 = 0}\end{array}} \right.\]

Giải thích

Chọn D

Gọi \[(P):\left\{ \begin{array}{l}qua{\rm{ }}A(1;0;0)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow n = (A;B;C) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):A.(x - 1) + By + Cz = 0\\B \in (P): - A - 2B + 3C = 0 \Leftrightarrow A = - 2B + 3C{\rm{ (1)}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}d(C;(P)) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 3({B^2} + {C^2} + 2BC) = 4({A^2} + {B^2} + {C^2})\\ \Leftrightarrow {B^2} + {C^2} - 6BC + 4{A^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}\]

Thay \[{\rm{(1)}}\] vào \[{\rm{(2)}}\] ta có: \[{B^2} + {C^2} - 6BC + 4{( - 2B + 3C)^2} = 0 \Leftrightarrow 17{B^2} - 54BC + 37{C^2} = 0\]

Cho \[C = 1:{\rm{ }}17{B^2} - 54B + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow A = 1\\B = \frac{{37}}{{17}} \Rightarrow A = \frac{{ - 23}}{{17}}\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):x + y + x - 1 = 0\\(P): - 23x + 37y + 17z + 23 = 0\end{array}\]