Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm M(3;-2;-1), N(4;3;1) và mặt phẳng (P): z = -5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).
a) Phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua \(M(3; - 2; - 1)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {MN} = (1;5;2)\).
Khi đó: Phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 + 5t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow a)\)Đúng.
b) Giao điểm của đường thẳng \(MN\)và \((P)\) là \(E(1; - 12; - 5)\).
Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và \((P)\)\( \Rightarrow E(3 + t; - 2 + 5t; - 1 + 2t)\). Thay tọa độ của \(E\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta có: \( - 1 + 2t = - 5 \Leftrightarrow t = - 2 \Leftrightarrow E(1; - 12; - 5)\) \( \Rightarrow b)\) Đúng.
c) Tập hợp các tiếp điểm \(A\) của mặt cầu \((S)\) và \((P)\) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng \(13,41\).
Gọi \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu \((S)\). Gọi \(A\)là tiếp điểm của mặt cầu \((S)\) và \((P)\)\( \Rightarrow A\)là hình chiếu vuông góc của \(I\)lên \((P)\)\( \Rightarrow A(a;b; - 5)\).
Vì mặt cầu \((S)\) đi qua \(M,N\) và luôn tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại \(A\) nên \(IM = IN = IA = R = d(I;(P)) = \left| {c + 5} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} + {(c + 1)^2} = {(c + 5)^2}\\{(a - 4)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 1)^2} = {(c + 5)^2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 10b + 4c = 12\\{(a - 3)^2} + {(b + 2)^2} = 8c + 24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8c = 24 - 4a - 20b\\{(a - 1)^2} + {(b + 12)^2} = 180\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm A là một đường tròn tâm \(I(1; - 12; - 5)\)bán kính \(R = \sqrt {180} \approx 13,41\).
\( \Rightarrow c)\) Đúng.
d) Giá trị lớn nhất của \(OA\) xấp xỉ bằng \(25,9\).
Khoảng cách \(OA = \sqrt {{1^2} + {{( - 12)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {170} \approx 13,04 \Rightarrow d)\)Sai.