Trong không gian Oxyz, bề mặt trái đất có phương trình x^2 + y^2 + z^2 = 1 (1 là đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí P có vĩ độ, kinh độ tương ứng là

Đáp số: 1524.

Gọi P và Q lần lượt là vị trí tương ứng với hồ Hoàn Kiếm và đảo Trường Sa

Ta có \(P\left( {\cos 21^\circ 02'\cos 105^\circ 51';\cos 21^\circ 02'\sin 105^\circ 51';\sin 21^\circ 02'} \right)\), \(Q\left( {\cos 8^\circ 39'\cos 111^\circ 56';\cos 8^\circ 39'\cos 111^\circ 56';\sin 8^\circ 39'} \right)\)

Suy ra

\(\overrightarrow {OP}  = \left( {\cos 21^\circ 02'\cos 105^\circ 51';\cos 21^\circ 02'\sin 105^\circ 51';\sin 21^\circ 02'} \right)\), \(\overrightarrow {OQ}  = \left( {\cos 8^\circ 39'\cos 111^\circ 56';\cos 8^\circ 39'\cos 111^\circ 56';\sin 8^\circ 39'} \right)\).

Do đó \[\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ}  \approx 0,9715384942\] vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\)

Do đó \[\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,97154\]. Suy ra \(\widehat {POQ} \approx 13,70257035^\circ \)

Mặt khác, mặt cầu tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 nên cung nhỏ  của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{13,70257035\pi }}{{180}} \approx 0,2391549686\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng \[0,2391549686 \cdot 6371 = 1523,656305 \approx 1524\](km).