Trong không gian Oxyz

86/235

Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1};{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\). Xét các điểm \(A,B\) lần lượt di động trên \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho \(AB\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 9;8; - 5} \right)\)

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 5;9;8} \right)\)

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2; - 5} \right)\)

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;5; - 2} \right)\)

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về điểm thuộc đường thẳng trong không gian.

Lời giải

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {3a;1 - a; - 1 + a} \right);B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {2 + b;1 - 2b; - 3 + b} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + b - 3a; - 2b + a;b - 2 - a} \right);{\vec n_P} = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Do \(AB//\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}b\).

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là

\(I\left( {\frac{{3a + 2 + b}}{2};\frac{{2 - 2b - a}}{2};\frac{{ - 4 + a + b}}{2}} \right)\) hay \(I\left( {1 + \frac{3}{2}b;1 - \frac{8}{6}b; - 2 + \frac{5}{6}b} \right)\)

Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 9;8; - 5} \right)\).