Trong không gian O x y z , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu?

23/54

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu?

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} - {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\).

\(\left( S \right):{x^2} + 2{y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 8 = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng: C

Phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Ở đáp án A và B không đúng dạng phương trình mặt cầu vì hệ số của \({x^2},{y^2},{z^2}\) không bằng nhau nên phương trình ở đáp án A, B không là phương trình mặt cầu.

Trong đáp án D ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 8\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 2 < 0\) nên phương trình ở đáp án D không là phương trình mặt cầu.

Trong đáp án C ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 > 0\) nên phương trình ở đáp án C là phương trình mặt cầu.