Trong không gian O x y z , mặt cầu ( S ) có phương trình: ( x − a )^2 + y^2 + ( z − c )^2 = 16 đi qua hai điểm O và M ( 1 ; 0 ; 1 ) . Tính a + c .

24/54

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = 16\) đi qua hai điểm \(O\) và \(M\left( {1;0;1} \right)\). Tính \(a + c\).

\(a + c = 4\).

\(a + c = 16\).

\(a + c = 1\).

\(a + c = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng: C

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên: \({a^2} + {c^2} = 16\). \(\left( 1 \right)\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {1;0;1} \right)\) nên: \({\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2} = 16\). \(\left( 2 \right)\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16\) \(\left( 3 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow 16 - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16 \Leftrightarrow a + c = 1\)\( \Rightarrow a = 1 - c\).

Thay \(a = 1 - c\) vào \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow {\left( {1 - c} \right)^2} + {c^2} = 16 \Rightarrow c = \frac{{1 \pm \sqrt {31} }}{2}\) \( \Rightarrow \) Có tồn tại mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn đề bài. Vậy \(a + c = 1\).