Trong không gian O x y z , hãy tính số đo góc α giữa đường thẳng Δ : x/1 = y/2 = (z − 1)/ − 1 và mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0.

18/54

Trong không gian \[Oxyz,\] hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0.\]

\[\alpha = 30^\circ .\]

\[\alpha = 60^\circ .\]

\[\alpha = 150^\circ .\]

\[\alpha = 120^\circ .\]

Giải thích

Đáp án đúng: A

Ta có: đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1\,;\,2\,; - 1} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).

Áp dụng công thức \[\sin \alpha = \sin \left( {{{\vec u}_\Delta },{{\vec n}_P}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_\Delta }.{{\vec n}_P}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_\Delta }} \right|.\left| {{{\vec n}_P}} \right|}}\]

\[ \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \alpha = 30^\circ \].