Trong không gian O x y z , cho tam giác A B C với A ( 1 ; 1 ; 2 ) , B ( 5 ; 1 ; − 2 ) và C ( 3 ; 5 ; 0 ) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

14/22

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho tam giác \(ABC\)với \(A\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\),\(B\left( {5\,;\,1\,;\, - 2} \right)\)và \(C\left( {3\,;\,5\,;\,0} \right)\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\).

ĐúngSai

b

Tọa độ vecto \(\overrightarrow {BC} \)là \[\left( { - 2\,;\,4\,;\,2} \right)\].

ĐúngSai

c

Điểm \(G\left( {\frac{7}{3}\,;\,\frac{9}{3}\,;\,0} \right)\)là trọng tâm tam giác \(ABC\).

ĐúngSai

d

Điểm \(H\left( {a\,;\,b & ;\,c} \right)\)là chân đường cao hạ từ A xuống \(BC\). Khi đó \(a + b - c = 8\)

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

Ta có

\(\overrightarrow{AB} = (4;\,0;\,-4),\ \overrightarrow{BC} = (-2;\,4;\,2)\).

Do đó\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)

b) Đúng

c) Sai

\(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\)nên \(G\left( {3\,;\frac{7}{3}\,;\,0} \right)\)

d) Đúng

Phương trình đường thẳng \(BC\)có một vecto chỉ phương\(\overrightarrow a \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\)và đi qua điểm \(B\left( {5\,;\,1\,;\, - 2} \right)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\)

Điểm \(H\)thuộc \(BC\)nên \[H\left( {5 + t\,;1 - 2t\,; - 2 - t} \right)\]

Vậy \(\overrightarrow {AH} \left( {4 + t\,;\, - 2t\,;\, - 4 - t} \right)\)

Do \(AH\)vuông góc \(BC\)nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)

\[
\begin{array}{l}
-2(4+t) - 4\cdot 2t + 2(-2-t) = 0\\
\Rightarrow t = -1\\
\Rightarrow H(4;\,3;\,-1)
\end{array}
\]

Vậy \(a = 4;b = 3,c = - 1\)nên \(a + b - c = 8\)