Trong không gian O x y z , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 2 = 0 , hai điểm A ( − 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 1 ; 0 ; 1 ) . Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng ( P ) sao cho các đường thẳng

94/100

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z + 2 = 0$, hai điểm $A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {1;0;1} \right)$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho các đường thẳng $MA,MB$ cùng tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ các góc bằng nhau. Biết độ dài lớn nhất của $O{M^2}$ có dạng $\frac{{a + 24\sqrt b }}{c},\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)$. Tính tổng $a + b + c$.

740

750

760

730

Giải thích

Phương pháp giải

+ Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ và $A',B'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên ${\rm{mp}}\left( P \right)$.

+ Chứng minh $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

+ Gọi $E$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$, tìm $E$.

+ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên ${\rm{mp}}\left( P \right)$, tìm $H$.

+ vì $O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}$ nên $OM_{{\rm{max}}}^2 \Leftrightarrow HM_{{\rm{max}}}^2$, tính $O{M^2}$ max.

Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng

Lời giải

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z + 2 = 0$, hai điểm $A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {1;0;1} \right)$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho các đường thẳng $MA,MB$ cùng tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ các góc bằng nhau. Biết độ dài lớn nhất của $O{M^2}$ có dạng $\frac{{a + 24\sqrt b }}{c},\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)$. Tính tổng $a + b + c$. A. 740 B. 750 C. 760 D. 730 (ảnh 1)$

Nhận thấy đường thẳng $AB$ không vuông góc với ${\rm{mp}}\left( P \right)$ và

$\left( { - 1 + 0 - 0 + 2} \right).\left( {1 + 0 - 1 + 2} \right) > 0$ nên $A,B$ nằm cùng phía so với $\left( P \right)$.

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ và $A',B'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên ${\rm{mp}}\left( P \right)$.

Vì các đường thẳng $MA,MB$ cùng tạo với ${\rm{mp}}\left( P \right)$ các góc bằng nhau nên $\widehat {AMA'} = \widehat {BMB'}$

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }}AMA'\,\,{\rm{\Delta }}BMB' \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 + 2} \right|}}{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}} = \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow MB = 2MA \Leftrightarrow M{B^2} = 4M{A^2} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2}$

$ = 4\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right]$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 10x + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{{10}}{3}x + \frac{2}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.

Suy ra $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( { - \frac{5}{3};0; - \frac{1}{3}} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2} - \frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \left( P \right)}\\{M \in \left( S \right)}\end{array} \Rightarrow M \in \left( C \right)} \right.$, với $\left( C \right) = \left( P \right) \cap \left( S \right)$.

Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{2}{{3\sqrt 3 }}$.

Gọi $E$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm là $E$ và bán kính bằng $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = $$\sqrt {\frac{{20}}{9} - \frac{4}{{27}}} = \frac{{2\sqrt {42} }}{9}$.

Đường thẳng $IE$ đi qua điểm $I$ nhận vectơ pháp tuyến của ${\rm{mp}}\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $IE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3} + t}\\{y = t}\\{z = - \frac{1}{3} - t}\end{array} \Rightarrow E\left( { - \frac{5}{3} + t;t; - \frac{1}{3} - t} \right)} \right.$.

$E \in \left( P \right) \Leftrightarrow - \frac{5}{3} + t + t + \frac{1}{3} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{9} \Leftrightarrow E\left( { - \frac{{17}}{9}; - \frac{2}{9}; - \frac{1}{9}} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên ${\rm{mp}}\left( P \right)$.

Phương trình đường thẳng $OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t'}\\{y = t'}\\{z = - t'}\end{array} \Rightarrow H\left( {t';t'; - t'} \right)} \right.$.

$H\left( {t';t'; - t'} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow t' + t' + t' + 2 = 0 \Leftrightarrow t' = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow H\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

$\overrightarrow {HE} = \left( { - \frac{{11}}{9};\frac{4}{9}; - \frac{7}{9}} \right) \Rightarrow HE = \sqrt {\frac{{121}}{{81}} + \frac{{16}}{{81}} + \frac{{49}}{{81}}} = \frac{{\sqrt {186} }}{9}$.

vì $O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}$ nên $OM_{{\rm{max}}}^2 \Leftrightarrow HM_{{\rm{max}}}^2$

Mà $H{M_{{\rm{max}}}} = HE + r = \frac{{\sqrt {186} + 2\sqrt {42} }}{9}$.

Suy ra $OM_{{\rm{max}}}^2 = \frac{4}{3} + {\left( {\frac{{\sqrt {186} + 2\sqrt {42} }}{9}} \right)^2} = \frac{4}{3} + \frac{{354 + 24\sqrt {217} }}{{81}} = \frac{{462 + 24\sqrt {217} }}{{81}}$.

Do đó $a = 462,b = 217,c = 81$.

Vậy $a + b + c = 760$.

Chọn C