Trong không gian O x y z , cho mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( 2 ; 3 ; 5 ) cắt các tia O x , O y , O z lần lượt tại ba điểm A ( a ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; b ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; c ) sao ch

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;3;5} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) sao cho độ dài các cạnh \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 . Khi đó, . Khi đó, a = \(\frac{{32}}{9}\); b = \(\frac{{32}}{3}\) ; c = 32.

Giải thích

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Ta có: \(M\left( {2;3;5} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{5}{c} = 1\left( {\rm{*}} \right)\).

Mà \(OA;OB;OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 3\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = aq}\\{c = a{q^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \frac{2}{a} + \frac{3}{{3a}} + \frac{5}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{{32}}{9}} \right.} \right.\)

Vậy \(a = \frac{{32}}{9} \Rightarrow b = \frac{{32}}{3};c = 32\).