Trong không gian O x y z , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2 ; − 1 ; 3 ) . Từ điểm M ( 4 ; 1 ; 1 ) nằm ngoài mặt cầu ( S ) , kẻ ba tiếp tuyến M A , M B , M C với mặt cầu ( S ) sao cho

87/100

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2; - 1;3} \right)$. Từ điểm $M\left( {4;1;1} \right)$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$, kẻ ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ với mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $MA = MB = MC$. Biết $\widehat {AMB} = {60^ \circ },\widehat {BMC} = {90^ \circ },\widehat {CMA} = {120^ \circ }$. Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ bằng (1) ________.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2; - 1;3} \right)$. Từ điểm $M\left( {4;1;1} \right)$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$, kẻ ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ với mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $MA = MB = MC$. Biết $\widehat {AMB} = {60^ \circ },\widehat {BMC} = {90^ \circ },\widehat {CMA} = {120^ \circ }$. Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ bằng (1) ________. (ảnh 1)$

Đặt $MA = MB = MC = a > 0$.

Áp dụng định lí ${\rm{cos}}$ cho tam giác $MAB$ ta có:

$A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB.{\rm{cos}}\widehat {AMB} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.{\rm{cos}}{60^ \circ } = {a^2}$.

Suy ra $AB = a$.

Tương tự, ta cũng tính được $BC = \sqrt 2 a,CA = \sqrt 3 a$.

Xét tam giác $ABC$ có: $C{A^2} = B{C^2} + A{B^2}$ suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (định lí Pythagore đảo). Do đó trung điểm $H$ của $AC$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Suy ra $M,H,I$ thẳng hàng.

Xét tam giác $MCI$ vuông tại $C$ đường cao $CH$ :

$IC.MC = CH.MI$ suy ra $IC = \frac{{CH.MI}}{{MC}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.2\sqrt 3 }}{a} = 3$.