Trong không gian O x y z , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − 1 )^2 + ( y + 2 )^2 + ( z − 1 )^2 = 2 . Gọi ( P ) , ( Q ) là hai mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) đồng thời vuông góc vớ

62/100

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 2$. Gọi $\left( P \right),\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ trên đường thẳng $d$. Diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết $O$ là gốc tọa độ.

$\left( {1;\sqrt 3 } \right)$.

$\left( {2\sqrt 3 ;4} \right)$.

$\left( {\sqrt 5 ;3} \right)$.

$\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 6 } \right)$.

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 2$. Gọi $\left( P \right),\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ trên đường thẳng $d$. Diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết $O$ là gốc tọa độ. A. $\left( {1;\sqrt 3 } \right)$. B. $\left( {2\sqrt 3 ;4} \right)$. C. $\left( {\sqrt 5 ;3} \right)$. D. $\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 6 } \right)$. (ảnh 1)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt 2 \Rightarrow OI = \sqrt 6 $.

Gọi $E,F$ lần lượt là tiếp điểm của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ với mặt cầu $\left( S \right)$.

Vì $d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$nên $d \bot \left( {IEF} \right)$.

Mà $IK \bot d$

$ \Rightarrow K \in \left( {IEF} \right) \Rightarrow IEKF$ là hình vuông.

Ta có $IE = IF = R = \sqrt 2 \Rightarrow IK = 2$.

${S_{OIK}} = \frac{1}{2}IK.OI.{\rm{sin}}\widehat {OIK} = \sqrt 6 {\rm{sin}}\widehat {OIK} \le \sqrt 6 $.

Dấu "=" xảy ${\rm{ra}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\widehat {OIK} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OIK} = {90^ \circ } \Leftrightarrow OI \bot IK$.

Chọn C