Trong không gian O x y z , cho mặt cầu ( S 1 ) có tâm I 1 ( 1 ; 0 ; 1 ) , bán kính R 1 = 2 và mặt cầu ( S 2 ) có tâm I 2 ( 1 ; 3 ; 5 ) , bán kính R 2 = 1 . Đường thẳng d thay đổi

95/100

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;0;1} \right)$, bán kính ${R_1} = 2$ và mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {1;3;5} \right)$, bán kính ${R_2} = 1$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau $Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;0;1} \right)$, bán kính ${R_1} = 2$ và mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {1;3;5} \right)$, bán kính ${R_2} = 1$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$. (ảnh 1)$

Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng _______.

Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng _______.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng 4.

Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt 6 $.

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;0;1} \right)$, bán kính ${R_1} = 2$ và mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {1;3;5} \right)$, bán kính ${R_2} = 1$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$. (ảnh 2)$

Ta có ${I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2} = 3 \Rightarrow $ Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ và $\left( {{S_2}} \right)$ ngoài nhau.

Khi đó, ${I_1}A \bot d,{I_2}B \bot d \Rightarrow {I_1}A\parallel {I_2}B$.

Ta có: ${I_1}I_2^2 = {\left( {\overrightarrow {{I_1}A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{I_2}} } \right)^2} = R_1^2 + A{B^2} + R_2^2 + 2\overrightarrow {{I_1}A} .\overrightarrow {B{I_2}} $

$ \Rightarrow A{B^2} = 20 + 2\overrightarrow {{I_1}A} .\overrightarrow {{I_2}B} = 20 + 2.2.1.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{I_1}A} ;\overrightarrow {{I_2}B} } \right)$

Vậy $A{B_{{\rm{max}}}} = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow \overrightarrow {{I_1}A} $ cùng hướng với $\overrightarrow {{I_2}B} $ và $A{B_{{\rm{min}}}} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow {{I_1}A} $ ngược hướng với $\overrightarrow {{I_2}B} $.