Trong không gian O x y z , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 3 và ( Q ) : 2 x + y − z = 5 . Giao tuyến của ( P ) và ( Q ) có phương trình là

88/100

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 3\) và \(\left( Q \right):2x + y - z = 5\). Giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - \frac{5}{2}}}{{ - 2}} = \frac{{z + \frac{1}{2}}}{1}\)

\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{3}\)

\(\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 7}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\)

Giải thích

Cách 1.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( { - 2;3; - 1} \right)\).

Chọn điểm \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) thuộc hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Cách 2.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì với mỗi điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \in d\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 3}\\{2x + y - z = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{z = 2x + y - 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Cho \(x = 2t\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) thì từ hệ phương trình trên ta thu được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 4 - 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 4 - 3t\left( {t \in \mathbb{R}} \right){\rm{.\;}}}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Chọn A