Trong không gian O x y z , cho điểm E ( 2 ; 1 ; 3 ) , mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 3 )^2 + ( y − 2 )^2 + ( z − 5 )^2 = 36 . Gọi Δ là đường thẳng đi q

74/100

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu$\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau $Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu$\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$. (ảnh 1)$

Giá trị của ${y_0}$ bằng _______.

Giá trị của ${z_0}$ bằng _______.

Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt a $ với $a$ bằng _______.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Giá trị của ${y_0}$ bằng -2023.

Giá trị của ${z_0}$ bằng 0.

Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt a $ với $a$ bằng 30.

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu$\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$. (ảnh 2)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;5} \right)$ và bán kính $R = 6 \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \left( {1;1;2} \right)$

$ \Rightarrow IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 < R \Rightarrow $ điểm $E$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right),A$ và $B$ là hai giao điểm của ${\rm{\Delta }}$ với $\left( S \right)$.

Khi đó, $AB$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow d{(H;AB)_{{\rm{max}}}} \Leftrightarrow AB \bot HE$, mà $AB \bot IH$ nên $AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE$.

Suy ra $\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {5; - 5;0} \right)\parallel \left( {1; - 1;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\rm{\Delta }}$.

Suy ra $\vec u = \left( {2023; - 2023;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\rm{\Delta }}$, do đó ${y_0} = - 2023,{z_0} = 0$.

Ta có: $IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 2.2 - 5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{3}$.

$\Delta IHE$ vuông tại $H:HE = \sqrt {I{E^2} - I{H^2}} = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}$.

${\rm{\Delta }}IHB$ vuông tại $H:HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}} = \sqrt {36 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{8\sqrt 5 }}{3}$.

$\Delta HEB$ vuông tại $E:BE = \sqrt {H{B^2} - H{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{8\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {30} $.

$ \Rightarrow AB = 2BE = 2\sqrt {30} $.