Trong không gian O x y z , cho ba điểm A ( 2 ; − 1 ; 1 ) , B ( − 1 ; 3 ; − 1 ) , C ( 5 ; − 3 ; 4 ) .

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 2;3} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 9 - 8 - 6 =  - 23\).

b) Sai. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 9 - 8 - 6 =  - 23 < 0\), suy ra góc \(\widehat {BAC}\) tù.

c) Sai. \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 23}}{{\sqrt {29} \sqrt {23} }} =  - \frac{{23}}{{\sqrt {667} }}\].

d) Đúng. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Ta có \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) không đổi, suy ra \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MG\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(MG\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\].
Vậy \(M\left( {2; - \frac{1}{3};0} \right)\).