Trong không gian O x y z , cho ba điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 2 ; 0 ; 1 ) , C ( 1 ; 1 ; 1 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 6 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua ba điểm A , B , C và có
98/100
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;0;1} \right),C\left( {1;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 6 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua ba điểm \(A,B,C\) và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng _______.
Tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có tung độ bằng _______; cao độ bằng _______.
Đáp án
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng \(\sqrt {41} \).
Tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có tung độ bằng 4 ; cao độ bằng -3 .
Giải thích
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,C\).
Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{B^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2}\\{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2}\end{array} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 1 = - 4x + 4 - 2z + 1}\\{ - 4x + 4 = - 2x + 1 - 2y + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\end{array}} \right.} \right.\)
Vì \(I \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + z = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + z - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\\{z = - 3}\end{array} \Rightarrow I\left( {5;4; - 3} \right)} \right.} \right.\)
Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {41} \)
\( \Rightarrow \left( S \right):{(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 3)^2} = 41\).