Trong không gian hệ trục tọa độ O x y z (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O ( 0 ; 0 ; 0 ) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng
37/54
Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\,{\rm{km}}\). Một máy bay đang chuyển động với vận tốc \(900\,\)km/h theo đường thẳng \(d\) có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).
(a) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(300\,\,{\rm{km}}\).
(b) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).
(c) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng \(d\) đến vị trí điểm \(M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)\). Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
(d) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay đến khi máy bay ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là \(\frac{4}{3}\)giờ.
a) Sai. Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\)km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(600\)km.
b) Đúng. Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) có bán kính bằng \(R = 600\,\)có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).
c) Đúng. Ta có \(OM = \sqrt {{{\left( { - 500} \right)}^2} + {{\left( {100} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 608 > 600 = R\).
Vậy, tại vị trí điểm \(M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)\) máy bay nằm ngoài vùng kiểm soát không không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
d) Sai. Thay \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] vào phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\):
\(\begin{array}{l}{\left( {100t - 1000} \right)^2} + {\left( {80t - 300} \right)^2} + {\left( {100\sqrt {11} } \right)^2} = 360000\\ \Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10 \Rightarrow B\left( {0\,;\,500\,;\,100\sqrt {11} } \right)\\t = \frac{{210}}{{41}} \Rightarrow C\left( { - \frac{{20000}}{{41}}\,;\,\frac{{4500}}{{41}}\,;\,100\sqrt {11} } \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Quãng đường máy bay di chuyển trong vùng kiểm soát không lưu là:
\(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20000}}{{41}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4500}}{{41}} - 500} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} - 100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 625\,\)km.
Vậy thời gian máy bay di chuyển theo đường thẳng \(d\) và trong phạm vi kiểm soát không lưu của sân bay là: \(\frac{{625}}{{900}} = \frac{{25}}{{36}}\) giờ.