Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

36/234

Trong không gian hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z + 2 = 0\]và 2 điểm \[A\left( {0;1; - 2} \right),B\left( {2;0; - 3} \right)\]. Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \[MA + MB\] nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).

\[T = - 5\].

\[T = - \frac{1}{5}\].

\[T = - 1\].

\[T = \frac{1}{5}\].

Giải thích

Kí hiệu \[f = x - y + 2z + 2\], ta có \[f\left( A \right) \cdot f\left( B \right) > 0\] nên A, B nằm cùng phía với \(\left( P \right)\).

Gọi \[A'\] là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó \[MA + MB = MA' + MB \ge A'B\], dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow A',M,B\] thẳng hàng.

Phương trình \[AA':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\]. Gọi \[H = {\rm{AA'}} \cap \left( P \right),H\left( {t;1 - t; - 2 + 2t} \right)\].

Cho \[H \in \left( P \right) \Rightarrow t + t - 1 + 4t - 4 + 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right) \Rightarrow A'\left( {1;0;0} \right)\].

Khi đó \[A'B:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 3t\end{array} \right. \Rightarrow M = A'B \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( {\frac{8}{5};0; - \frac{9}{5}} \right) \Rightarrow a + b + c = - \frac{1}{5}\]. Chọn B.