Trong không gian hệ tọa độ oxyz, cho mặt cầu S

81/235

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = - 1 + 2t,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Xác định phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

\(x - 19y + 13z + 20 = 0\).

\(x - 19y + 13z - 20 = 0\).

\(x + 19y - 13z + 20 = 0\).

\(x - 19y - 13z - 20 = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Bán kính đường tròn giao tuyến: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right)} \)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và cắt mặt cầu\(\left( S \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} \Rightarrow {r_{{\rm{min\;}}}} \Leftrightarrow I{H_{{\rm{max\;}}}}\)

\(I{H_{{\rm{max\;}}}}\) khi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\)

Vì \(H \in d\) nên \( \Rightarrow H\left( {1 - 2t; - 1 + 2t;t} \right)\)

\(\overrightarrow {IH} = \left( {1 - 2t; - 3 + 2t;t + 1} \right)\)

\(H\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)

\( \Rightarrow - 2.\left( {1 - 2t} \right) + 2.\left( { - 1 + 2t} \right) + t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{9}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {\frac{1}{9};\frac{{ - 19}}{9};\frac{{13}}{9}} \right)\)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(\frac{1}{9}\left( {x - 1} \right) - \frac{{19}}{9}\left( {y + 1} \right) + \frac{{13}}{9}z = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( P \right):x - 19y + 13z - 20 = 0\)