Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

37/235

Trong không gian hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {3;1;0} \right),B\left( { - 9;4;9} \right)\]và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \[\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0\]. Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \[\left| {IA - IB} \right|\] đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng \(a + b + c\) bằng:

\[22\].

\[ - 4\].

\[ - 13\].

\[13\].

Giải thích

Đặt \[f\left( {x;y;z} \right) = 2x - y + z + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right) = 6\\f\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right) = - 12\end{array} \right. \Rightarrow f\left( A \right) \cdot f\left( B \right) = - 72 < 0\].

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \[B'\] là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng \(\left( P \right)\)\[ \Rightarrow BB':\frac{{x + 9}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{1}\].

Gọi \(H = BB' \cap \left( P \right)\). Ta có \[H \in BB' \Rightarrow H\left( {2t - 9;4 - t;t + 9} \right)\].

Cho \[H \in \left( P \right) \to 2\left( {2t - 9} \right) - \left( {4 - t} \right) + t + 9 + 1 = 0 \Rightarrow t = 2\]. Suy ra \(H\left( { - 5;2;11} \right)\)\( \Rightarrow B'\left( { - 1;0;13} \right)\).

Ta có \[\left| {IA - IB} \right| = \left| {IA - IB'} \right| \le AB' \Rightarrow {\left| {IA - IB} \right|_{\max }} = AB'\]\[ \Rightarrow \]I là giao điểm của \[AB'\]và \(\left( P \right)\).

Lại có \[\overrightarrow {AB'} = \left( { - 4; - 1;13} \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _{AB'}} = \left( {4;1; - 13} \right) \Rightarrow AB':\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 13}}\].

Điểm \[I \in AB' \Rightarrow I\left( {4t + 3;t + 1; - 13t} \right) \in \left( P \right) \to I\left( {7;2; - 13} \right) \Rightarrow a + b + c = - 4\]. Chọn B.