Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp \(OABC\)

Lời giải

Vì \(A,B,C\) di động trên các tia \(Ox,Oy,Oz \Rightarrow a,b,c > 0\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(AB \Rightarrow E\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};0} \right)\). Vì \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OAB\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(E\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{a}{2}}\\{y = \frac{b}{2}}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(OC \Rightarrow \left( \beta \right):z - \frac{c}{2} = 0\)

Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( \beta \right)\)

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC \Rightarrow \) Tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{a}{2}}\\{y = \frac{b}{2}}\\{z = t}\\{z - \frac{c}{2} = 0}\end{array}{\rm{\;}} \Rightarrow I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)} \right.\)

Ta có: \(2{x_1} + {y_1} - {z_1} = 2.\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2} = \frac{{2a + b - c}}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

\( \Rightarrow 2{x_1} + {y_1} - {z_1} - 3 = 0\).

Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) luôn nằm trên mặt phẳng\(\left( \alpha \right):2x + y - z - 3 = 0\)