Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^2 + MB^2 + MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

36/49

Trong không gian cho tam giác \(ABC\). Tìm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(M\) là trọng tâm \(\Delta ABD\) với \(D\) là đỉnh thứ 4 của hình bình hành \(ABCD\).

\(M\) là giao của hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\).

\(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

\(M\) là trung điểm của \(BC\).

Giải thích

Gọi \(G\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC \Rightarrow G\) cố định và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\)

\(P = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv G\)

Vậy \({P_{{\rm{min}}}} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) với \(M \equiv G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Chọn C.