Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng? A. AB^2 + AC^2 + BC^2 = 2(GA^2 + GB^2 + GC^2)

Chọn D

Cách 1

Ta có

GA→+GB→+GC→2=0⇔GA2+GB2+GC2+2GA→.GB→+2GA→.GC→+2GB→.GC→=0⇔GA2+GB2+GC2+GA2+GB2−AB2+GA2+GC2−AC2+GB2+GC2−BC2=0⇔AB2+AC2+BC2=3GA2+GB2+GC2

Cách 2: Ta có:

MA2=AB2+AC22−BC24GA=23MA⇒GA2=49AB2+AC22−BC24.

Tương tự ta suy ra được

GA2+GB2+GC2=49AB2+AC22−BC24+BA2+BC22−AC24+CA2+CB22−AB24.=13AB2+BC2+CA2.⇔3GA2+GB2+GC2=AB2+BC2+CA2

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó

AB2+BC2+CA2=3GA2+GB2+GC2=1⇒3GA2+GB2+GC2=AB2+BC2+CA2.