Trong không gian, cho mặt phẳng (P):x + 3y - 2z + 1 = 0\) và đường thẳng

91/235

Trong không gian, cho mặt phẳng \((P):x + 3y - 2z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{1}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;2;1)\) cắt mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(d\) lần lượt tại \(B,\,\,C\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(AB\) là

\(\frac{{x - 1}}{{ - 8}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\).

\(\frac{{x + 15}}{8} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\).

\(\frac{{x - 1}}{8} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).

\(\frac{{x + 15}}{8} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Giải thích

Giải chi tiết:

Giả sử \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).

Do \(C \in d\) nên \(C(2t + 1; - t - 1;t + 4)\).

Hơn nữa do \(C\) là trung điểm của \(AB\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} = 2{x_C} - {x_A}}\\{{y_B} = 2{y_C} - {y_A}}\\{{z_C} = 2{z_C} - {z_A}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} = 4t + 1}\\{{y_B} = - 2t - 4}\\{{z_B} = 2t + 7}\end{array}} \right.\)

Mặt khác \(B \in (P)\) nên

\(4t + 1 + 3( - 2t - 4) - 2(2t + 7) + 1 = 0 \Rightarrow t = - 4\).

Khi đó \(B( - 15;4; - 1) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 16;2; - 2)\).

Chọn \(\vec u = (8; - 1;1)\) làm véc tơ chỉ phương của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x + 15}}{8} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Đáp án cần chọn là: D