Trong không gian, cho mặt cầu S có phương trình: (x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9,\]

100/235

Trong không gian, cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9,\]và điểm \(M(9;3;5)\). Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\), \(N\) là điểm nằm trên mặt cầu \((S)\) sao cho N,I,M không thẳng hàng. Điểm \[A\left( { - \frac{{37}}{9}; - \frac{{44}}{9};\frac{{67}}{9}} \right).\] Gọi \(K\) là điểm sao cho: \[\overrightarrow {IM} = 9\overrightarrow {IK} .\]

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[T = NM + 3NA\]bằng bao nhiêu?

30.

33.

36.

39.

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng điểm trung gian.

Giải chi tiết:

Tâm mặt cầu:

\[I(1;2;1),\quad R = 3.\]

Ta có:

\[\overrightarrow {IM} = (8;1;4) \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {\frac{8}{9};\frac{1}{9};\frac{4}{9}} \right).\]

Suy ra:

\[K\left( {\frac{{17}}{9};\frac{{19}}{9};\frac{{13}}{9}} \right).\]

Xét hai tam giác IKN và INM, ta có:

\[\frac{{IK}}{{IN}} = \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{3},\qquad \widehat {KIN} = \widehat {NIM}.\]

Suy ra hai tam giác đồng dạng, do đó:

\[NM = 3KN.\]

Khi đó:

\[T = NM + 3NA = 3(KN + NA) \ge 3KA.\]

Dấu bằng xảy ra khi N,K,A thẳng hàng.

Tính:

\[KA = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{9} + \frac{{37}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{19}}{9} + \frac{{44}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{13}}{9} - \frac{{67}}{9}} \right)}^2}} = 11.\]

Suy ra:

\[{T_{\min }} = 3 \cdot 11 = 33.\]