Trong không gian, cho mặt cầu ( S) có phương trình: {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9

39/235

Trong không gian, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9$, đồng thời điểm $M$ có toạ độ $M\left( {9;3;5} \right)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right),N$ là điểm nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $N,I,M$ không thẳng hàng, $A$ là điểm có tọa độ $\left( { - \frac{{37}}{9};\frac{{ - 44}}{9};\frac{{67}}{9}} \right)$. $K$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IM} = 9\overrightarrow {IK} $. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = MN + 3NA$ là:

30.

33.

36.

39.

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng điểm trung gian.

Lời giải

$Trong không gian, cho mặt cầu ( S) có phương trình: {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9 (ảnh 1)$

Tính được $IM = 9 = 3R$.

Gọi $K$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IM} = 9\overrightarrow {IK} $.

Có $\overrightarrow {IM} \left( {8;1;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IK} \left( {\frac{8}{9};\frac{1}{9};\frac{4}{9}} \right) \Rightarrow K\left( {\frac{{17}}{9};\frac{{19}}{9};\frac{{13}}{9}} \right)$.

Xét 2 tam giác $IKN$ và $INM$ có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{IK}}{{IN}} = \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{3}}\\{\widehat {KIN} = \widehat {NIM}}\end{array} \Rightarrow } \right.$ hai tam giác $IKN$ và $INM$ đồng dạng.

Do hai tam giác $IKN$ và $INM$ đồng dạng nên $\frac{{NM}}{{KN}} = \frac{{IN}}{{IK}} = 3 \Rightarrow NM = 3KN$

Khi đó,$T = 3\left( {KN + NA} \right) \ge 3KA = 3\sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{9} + \frac{{37}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{19}}{9} + \frac{{44}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{13}}{9} - \frac{{67}}{9}} \right)}^2}} = 33$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ là 33.