Trong không gian, cho mặt cầu S có phương trình

31/235

Trong không gian, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({(x - 3)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 25\) và đường thẳng \(\left( d \right)\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 8 + t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Gọi \(M\) là một điểm bất kì nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó, tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm \(M\) và đường thẳng \(d\).

2,84.

2,80.

2,82.

2,78.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Biện luận tìm điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách tới \(\left( d \right)\) là nhỏ nhất.

Lời giải

Trong không gian, cho mặt cầu S có phương trình (ảnh 1)

Gọi \(I\left( {3;0; - 1} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right),H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(I,M\) lên đường thẳng \(d\). Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng \(M\) và đường thẳng \(d\) là \(MK\).

Có \(MK \ge IK - MI \ge IH - R\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(K \equiv H\), tức là \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(d\) và \(M\) là giao điểm của \(IK\) và \(\left( S \right)\).

Gọi toạ độ điểm \(H\) là \(\left( {h;8 + h;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {h - 3;h + 8;1} \right)\). Do \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên:

\(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {h - 3} \right).1 + \left( {h + 8} \right).1 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow h = \frac{{ - 5}}{2}\)

Khi đó, ta có \(\overrightarrow {IH} \left( {\frac{{ - 11}}{2};\frac{{11}}{2};1} \right) \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt {246} }}{2}\).

Khi đó, khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là \({\rm{min}}MK = IH - R = \frac{{\sqrt {246} }}{2} - 5 \approx 2,84\).