Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh A'D',

Phương pháp giải: Tọa độ hóa hình đã cho.

Giải chi tiết:

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên IB'.

Khi đó:

                                                          \[d(AJ,BI) < AK,\]

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

                         \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot IB',}\\{AK \bot AJ.}\end{array}} \right.\]

Chuẩn hóa độ dài cạnh hình lập phương bằng \(1\),

chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có:

       \[A(0,0,0),\quad B'(1,0,1),\quad I\left( {0,\frac{1}{2},1} \right),\quad J(1,1,m).\]

Do \(K\) nằm trên IB' nên gọi:

   \[K(1 - 2t;{\mkern 1mu} t;{\mkern 1mu} 1)\quad (t \in \mathbb{R}).\]

Điều kiện \(AK \bot IB'\):

   \[\overrightarrow {AK} \cdot \overrightarrow {IB'} = 0 \Rightarrow 2(1 - 2t) - ( - 1)t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{5}.\]

Suy ra:

            \[K\left( {\frac{1}{5};{\mkern 1mu} \frac{2}{5};{\mkern 1mu} 1} \right).\]

Điều kiện \(AJ \bot AK\):

\[\overrightarrow {AJ} \cdot \overrightarrow {AK} = 0 \Rightarrow 0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \frac{2}{5} + m \cdot 1 = 0 \Rightarrow m = - \frac{3}{5}.\]

Suy ra:

           \[J\left( {1;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - \frac{3}{5}} \right).\]

Khi đó:

                   \[\frac{{JC}}{{JC'}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{1} = \frac{3}{8}.\]