Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung

110/235

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $A'D',\,\,J$ là điểm nằm trên đường thẳng $CC'.$ Khi $d\left( {{\rm{AJ}},B'I} \right)$ đạt giá trị lớn nhất, tỉ số $\frac{{JC}}{{JC'}}$ bằng bao nhiêu?

$Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Gọi $I$ là trung (ảnh 1)$

$\frac{2}{7}.$

$\frac{3}{7}.$

$\frac{3}{8}.$

$\frac{4}{7}.$

Giải thích

Giải chi tiết:

$Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Gọi $I$ là trung (ảnh 2)$

Gắn hệ trục toạ độ \[Oxyz\] có $A\left( {0;0;0} \right),\,\,D\left( {0;1;0} \right),\,\,C\left( {1;1;0} \right);A'\left( {0;0;1} \right);D'\left( {0;1;1} \right);B'\left( {1;0;1} \right).$

Khi đó $I$ là trung điểm $A'D'$ nên $I(0;\frac{1}{2};1).$Gọi $J(1;1;a) \in CC' = > J(1;1;a)$

Ta có $\overrightarrow {AJ} (1;1;a);\overrightarrow {B'I} ( - 1;\frac{1}{2};0) \Rightarrow [\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {B'I} ] = ( - \frac{a}{2}; - a;\frac{3}{2}).$

Công thức khoảng cách: $d(AJ;B'I) = \frac{{|[\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {B'I} ] \cdot \overrightarrow {AB'} |}}{{|[\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {B'I} ]|}} = \sqrt {\frac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}}} .$

Xét $f(a) = \frac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}} \Rightarrow f'(a) = 0 \Leftrightarrow a = - 0,6.$

Khi đó $J\left( {1;1; - 0,6} \right)$ $ \Rightarrow JC = 0,6;JC' = 1,6 \Rightarrow \frac{{JC}}{{JC'}} = \frac{3}{8}.$

Đáp án cần chọn là: C